I came down with a cold.  風邪でダウンする。
風邪や病気などにかかると言う意味合いで “come down with” という表現を使います。

その他の表現で

I came down with the flu. インフルエンザにかかった。

I came down with the chiken pox. 水ぼうそうにかかった。

日本語でも風邪で寝込むと言うように、英語の “come down” には、床にふせるというイメージが浮かんできませんか? だから、この表現はおもに風邪やインフルエンザで使います。頭痛には使いませんicon_sad.gif